Το προφίλ μας στο Google Plus
1

Απρόσμενη παγίδα για τους φοροφυγάδες;

Αρκετοί από όσους καταθέτουν προκατασκευασμένες δηλώσεις στην εφορία μπορεί να νομίζουν πως κάνουν εξαιρετική δουλειά, ωστόσο είναι μάλλον απίθανο να λαμβάνουν υπόψη τους μία απρόσμενη παραξενιά της φύσης. Ακριβώς εξαιτίας αυτής τους αμέλειας, λοιπόν, είναι πιθανό να προδοθούν!

Επιλέξτε τυχαία ένα αντικείμενο από ένα σύνολο πέντε διαφορετικών. Αν από πριν έχετε σκεφτεί ένα συγκεκριμένο από αυτά, ποια είναι η πιθανότητα να το εκλέξετε; Προφανώς, από τη στιγμή που έχουμε να κάνετε με τυχαία διαδικασία, η σωστή απάντηση είναι 1/5. (Στα μαθηματικά, η πιθανότητα είναι πάντα ένας αριθμός μεταξύ 0 και 1 συμπεριλαμβανομένων, όπου το 0 εκφράζει το αδύνατο γεγονός και το 1 το βέβαιο.) Γενικεύοντας, αν είχατε m στο πλήθος αντικείμενα, η πιθανότητα να εκλέξετε τυχαία ένα συγκεκριμένο από αυτά θα ήταν 1/m.

Θεωρήστε τώρα ότι τα αντικείμενά σας είναι οι αριθμοί από το 1 έως το 9. Δοσμένης μιας ακολουθίας τυχαίων αριθμών, ποια είναι η πιθανότητα το πρώτο σημαντικό ψηφίο ενός οποιουδήποτε εξ αυτών να είναι κάποιο από τα 1 έως 9; Με τον όρο σημαντικό ψηφίο εννοούμε το πρώτο ψηφίο από αριστερά που *δεν* είναι 0. Παρατηρήστε ότι ο ορισμός αφορά τόσο στους ακέραιους, όσο και στους δεκαδικούς αριθμούς, δηλαδή και σε εκείνους που έχουν υποδιαστολή. Για παράδειγμα, το πρώτο σημαντικό ψηφίο του αριθμού 921 είναι το 9, το πρώτο σημαντικό του 314 είναι το 3, το πρώτο σημαντικό του 0,00518 είναι το 5 και το πρώτο σημαντικό του 00067,0083449 είναι το 6. Εστιάζοντας ξανά την προσοχή μας στο προηγούμενο ερώτημα, η σωστή απάντηση είναι, προφανώς, 1/9. Με άλλα λόγια, σε μια πραγματικά τυχαία ακολουθία αριθμών μπορείτε να έχετε την ίδια προσδοκία για την εμφάνιση ενός εκ των 1 έως 9, στη θέση του πρώτου σημαντικού ψηφίου.

Κάτι τέτοιο είναι λίγο–πολύ αναμενόμενο, αφού οι αριθμοί που συζητάμε, στο εξής δεδομένα, έχουν παραχθεί με τυχαίο τρόπο. Ανάλογα αποτελέσματα πρέπει να περιμένουμε αν τα δεδομένα έχουν παραχθεί από μια γεννήτρια των λεγόμενων ψευδοτυχαίων αριθμών — τέτοιες γεννήτριες εμπεριέχονται και σε πολλά προγράμματα για υπολογιστή, τα οποία μάλιστα ενδέχεται να λαμβάνουν τον αρχικό σπόρο (seed) της τυχαίας ακολουθίας από εξειδικευμένο υλικό του υπολογιστή. Αλλά ας μην ξεφεύγουμε. Αλήθεια, ξέρετε ποιοι άλλοι παράγουν όμορφα σύνολα τυχαίων δεδομένων; Οι καταχραστές, όπως οι επαγγελματίες φοροφυγάδες: Στην προσπάθειά τους να στήσουν όσο το δυνατόν καλύτερα την απάτη τους, κάνουν κάτι που τελικά αποδεικνύεται μάλλον αφύσικο, συνεπώς τραβούν την προσοχή των υποψιασμένων ελεγκτών.

Παράξενη ανακάλυψη
Όλως περιέργως, οι αριθμοί που προκύπτουν από διάφορες φυσικές διαδικασίες δεν είναι τόσο τυχαίοι, όπως ενδεχομένως θα συμπέραινε κάποιος με μια πρώτη, επιπόλαιη ματιά. Συγκεκριμένα, το 1 εμφανίζεται ως πρώτο σημαντικό ψηφίο πολύ συχνότερα από όσο τα ψηφία 2 έως 9. Το 2 παρουσιάζεται συχνότερα σε σχέση με κάποιο από τα 3 έως 8 κ.ο.κ. Ο ακόλουθος πίνακας έχει προκύψει μετά από σχετικές στατιστικές μελέτες και δείχνει καλύτερα το φαινόμενο.

Σημαντικό	Πιθανότητα
ψηφίο		εμφάνισης
=========================
1			0,301 (30,1%)
2			0,176 (17,6%)
3			0,125 (12,5%)
4			0,097 (9,7%)
5			0,079 (7,9%)
6			0,067 (6,7%)
7			0,058 (5,8%)
8			0,051 (5,1%)
9			0,046 (4,6%)

Αυτό το πραγματικά εκπληκτικό γεγονός παρατηρήθηκε για πρώτη φορά το 1881, από τον αμερικανό αστρονόμο Simon Newcomb. Την εποχή εκείνη όλοι οι υπολογισμοί γίνονταν με το χέρι. Συχνά, για πολύπλοκες αριθμητικές παραστάσεις χρησιμοποιούνταν ως βοηθήματα οι λεγόμενοι λογαριθμικοί πίνακες — υπήρχαν μάλιστα βιβλία με ατέλειωτες σελίδες από αυτούς. Κάποια στιγμή ο Newcomb παρατήρησε ότι οι σελίδες ενός βιβλίου λογαρίθμων με αριθμούς που ξεκινούσαν με 1 ήταν περισσότερο φθαρμένες από τις υπόλοιπες. Αμέσως του παρακινήθηκε η περιέργεια και άρχισε να μελετά κι άλλα σύνολα δεδομένων, τα οποία προέρχονταν από διάφορες φυσικές διαδικασίες και συστήματα. Μετά από αρκετή έρευνα ο Newcomb συμπέρανε αυτό που αργότερα ονομάστηκε ως νόμος του Benford: Το 1 έχει μεγαλύτερη τάση εμφάνισης ως πρώτο σημαντικό ψηφίο, σε σχέση με όλα τα υπόλοιπα. Η ανακάλυψη του Newcomb αγνοήθηκε από τους επιστήμονες της εποχής…

Προνομιακοί αριθμοί
Το 1938 ο φυσικός Frank Benford έκανε την ίδια ανακάλυψη με τον Newcomb. Ωστόσο ο Benford προχώρησε παραπέρα και μελέτησε πολλά περισσότερα σύνολα δεδομένων — συγκεκριμένα γύρω στα 20.229. Μεταξύ άλλων, τα δεδομένα του Benford προέρχονταν από αριθμούς σελίδων σε άρθρα περιοδικών, από συνολικά μήκη ποταμών κι από στατιστικά αγώνων baseball. Σε αντίθεση με τον Newcomb, η εργασία του Benford αναγνωρίστηκε και ονομάστηκε Νόμος του Benford, προς τιμήν του. Ο νόμος ισχύει ανεξάρτητα από το σύστημα αρίθμησης (π.χ., δυαδικό, δεκαδικό, δεκαεξαδικό κ.ά.) που είναι εκφρασμένοι οι αριθμοί του υπό μελέτη συνόλου δεδομένων. Για τους συνήθεις δεκαδικούς, δηλαδή για τους αριθμούς που εκφράζονται με συνδυασμό των ψηφίων από 0 έως 9, ο Benford απέδειξε ότι η πιθανότητα το πρώτο σημαντικό ψηφίο να είναι m ισούται προς log10(1+1/m), όπου το log10 εκφράζει τον γνωστό από το Λύκειο δεκαδικό λογάριθμο. Αν έχετε όρεξη μπορείτε να επαληθεύσετε τον προηγούμενο πίνακα, για τα ψηφία 1 έως 9.

Ισχύς και περιορισμοί
Ο νόμος του Benford ισχύει για αριθμητικά δεδομένα που προκύπτουν από διάφορα φυσικά, οικονομικά και κοινωνικά συστήματα, όπως τιμές μετοχών, αριθμοί λογαριασμών ηλεκτρικού ρεύματος, ποσοστά θνησιμότητας, διευθύνσεις οδών, αριθμοί άρθρων σε εφημερίδες, πληθυσμοί χωριών και πόλεων, μαθηματικές σταθερές, μήκη ποταμών κ.ά. Έχει επίσης ισχύ και στα νούμερα που εμφανίζονται στις φορολογικές δηλώσεις. Το 1972, ο καθηγητής Hal Varian του Information School στο Berkley, πρότεινε να χρησιμοποιηθεί ο νόμος του Benford για τον ευκολότερο εντοπισμό ψευδών φορολογικών δηλώσεων, με βάση το σκεπτικό ότι όσοι τις κάνουν τείνουν να κατανέμουν τα σχετικά νούμερα με τυχαίο τρόπο, αποκλίνοντας έτσι σημαντικά από την κατανομή Benford.

Πρέπει να τονιστεί, πάντως, ότι ο νόμος του Benford δεν έχει καθολική ισχύ. Για παράδειγμα, διαπιστωμένα *δεν* ισχύει για αριθμούς που προκύπτουν από πραγματικά τυχαίες διαδικασίες, ούτε για αριθμούς από μικρά σύνολα δεμένων.

One Response to “Απρόσμενη παγίδα για τους φοροφυγάδες;”

  1. onpc | 15/07/2014 at 09:51

    respect για το κείμενο… Τέλειο !!!

Leave a Reply

You must be logged in to post a comment.

Σύνδεση

Αρχείο δημοσιεύσεων