Το προφίλ μας στο Google Plus
0

deltaHacker 048 editorial: Ελάχιστο Στοιχείο

Έψαχνα κάτι τις προάλλες και, όπως συνήθως συμβαίνει κάθε φορά που κάποιος κάτι ψάχνει τις προάλλες, αυτό που βρήκα δεν ήταν αυτό που αναζητούσα. Μάλιστα η ανάμνηση του συγκεκριμένου “κάτι” ήταν βαθιά θαμμένη στο πίσω μέρος του μυαλού μου.

Αγαπητές κι αγαπητοί,
Θα γνωρίζετε, φαντάζομαι, ότι εδώ κι αρκετά χρονάκια πολλοί συνάνθρωποί μας στο πίσω μέρος του μυαλού τους έχουν, εξ ανάγκης, μάλλον πεζές σκέψεις — και δεν έχει σημασία αν σημαντικό ποσοστό αυτών είναι δεύτερες. Αλλά μη νομίζετε: Εκτός από τις μάλλον πεζές ή/και δεύτερες σκέψεις, εκεί, στο πίσω μέρος του μυαλού, κατοικούν και κάποιες σκέψεις –ή καλύτερα αναμνήσεις– οι οποίες παραμένουν καλά κρυμμένες και δεν αποκτούν καν μια ευκαιρία για να βγουν μπροστά.

Εκτός δηλαδή κι αν ψάχνεις κάτι, κατά προτίμηση τις προάλλες.

Έτσι λοιπόν και με τη δική μου περίπτωση. Για άλλο ξεκίνησα να ψάχνω, άλλο τελικά βρήκα. Το τι έψαχνα δεν έχει και πολλή σημασία. Για να σας πω την αλήθεια, αυτή τη στιγμή δεν καλοθυμάμαι καν τι ήταν. Αυτό που βρήκα, κι από τις προάλλες δεν το ‘χω ξεχάσει, ήταν ένα βιβλίο της Θεωρίας Αριθμών.

Το βιβλίο προοριζόταν για τους φοιτητές του Τμήματος Μαθηματικών, της Σχολής Θετικών Επιστημών, του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου της Θεσσαλονίκης. Βεβαίως, το αντίστοιχο μάθημα γινόταν και γίνεται και σε άλλα τμήματα μαθηματικών, σε άλλες σχολές και πανεπιστήμια. Στο Αριστοτέλειο, πάντως, το μακρινό 1991 ήταν ένα από τα υποχρεωτικά μαθήματα του πρώτου εξαμήνου.

Δεν μπορώ να ξεχάσω ότι από ένα σημείο και μετά είχα δυσκολευτεί με τη Θεωρία Αριθμών, κυρίως επειδή δεν στρωνόμουν στη μελέτη — κι αυτό ήταν κάτι που μου συνέβαινε με σχεδόν όλα τα μαθήματα. Είχα ωστόσο προλάβει να την αγαπήσω. Διαβάζοντας ξανά τον πρόλογο της έβδοσης έκδοσης του βιβλίου του καθηγητή Κ. Λάκκη, θυμήθηκα ότι η Θεωρία Αριθμών συχνά χαρακτηρίζεται ως η “βασίλισσα των Μαθηματικών”.

Δικαίως, κατά την ταπεινή μου γνώμη. Αν και τα αντικείμενα ή καλύτερα οι υπό μελέτη έννοιες της Θεωρίας Αριθμών είναι κατά βάση απλές, οι αυστηρές αποδείξεις προτάσεων και θεωρημάτων δεν είναι προφανείς ή εύκολες. Πάντα, ωστόσο, είναι κομψές και τελικά άκρως γοητευτικές. Αυτό διαφαίνεται πριν καν περάσουμε στο βασικό αντικείμενο του βιβλίου. Ως παράδειγμα, αντιγράφω εδώ ένα θεώρημα από τη σελίδα 3:

Θεώρημα 1.2. Κάθε μη κενό υποσύνολο του συνόλου των φυσικών αριθμών έχει ελάχιστο στοιχείο.

Στο σημείο αυτό κάθε φυσιολογικός άνθρωπος θα κουνήσει το κεφάλι του ελαφρώς απελπισμένος, και μάλλον θα σκεφτεί ότι δεν υπάρχει καμία σωτηρία για τους μαθηματικούς. “Χε-λό-όου! Προφανώς και κάθε μη κενό υποσύνολο του συνόλου των φυσικών αριθμών έχει ελάχιστο στοιχείο. Θέλει μωρέ απόδειξη αυτό;! Τι είναι, δηλαδή, τα μη κενά υποσύνολα του συνόλου των φυσικών αριθμών; Βαρέλια χωρίς πάτο, να τους ρίχνουμε στοιχεία κι αυτά να φεύγουν από κάτω;” Κάτι παρόμοιο είχα σκεφτεί κι εγώ, όταν για πρώτη φορά διάβασα το Θεώρημα 1.2. Κι όμως, αυτή η διαισθητικά προφανέστατη πρόταση θέλει την απόδειξή της — και την έχει. Την αντιγράφω εδώ, παρεμβάλλοντας ελαφρύ σχολιασμό.

Έστω ότι υπάρχει ένα μη κενό υποσύνολο M του συνόλου των φυσικών αριθμών, το οποίο δεν έχει ελάχιστο στοιχείο.

Ξεκινάμε ύπουλα, με το τέχνασμα της εις άτοπον απαγωγής. Κάνουμε, δηλαδή, μια αρχική υπόθεση κι ακολουθώντας έγκυρα βήματα καταλήγουμε σε κάτι που δεν ισχύει. Και γιατί αυτό το κάτι, στο οποίο καταλήγουμε ακολουθώντας έγκυρα βήματα, δεν ισχύει; Μα, γιατί η αρχική μας υπόθεση ήταν λανθασμένη. Εν προκειμένω, το λάθος μας θα είναι ότι υποθέσαμε πως υπάρχει μη κενό υποσύνολο του συνόλου των φυσικών αριθμών χωρίς ελάχιστο στοιχείο. Για να δούμε…

Θ’ αποδείξουμε τότε ότι ισχύει:

(1.2.1) για κάθε m του M ισχύει m ≥ n, για κάθε φυσικό αριθμό n

Πράγματι: Η πρόταση αυτή ισχύει για n=0 διότι κάθε m του M είναι μηδέν ή μεγαλύτερο του μηδενός. Υποθέτουμε τώρα ότι η πρόταση (1.2.1) ισχύει για τον φυσικό αριθμό n, δηλαδή υποθέτουμε ότι για κάθε m του M ισχύει m ≥ n.

Έχουμε, φίλες και φίλοι, καταφύγει στη μέθοδο της επαγωγής. Δηλαδή: Ξεκινάμε αποδεικνύοντας ότι η αρχική πρόταση ισχύει για n=0, μετά υποθέτουμε ότι ισχύει για n>0, οπότε αν αποδείξουμε ότι ισχύει και για n+1 τότε συμπεραίνουμε ότι η πρόταση ισχύει *για κάθε* φυσικό αριθμό n. Συνεχίζουμε:

Από τη σχέση αυτή προκύπτει ότι ο n δεν ανήκει στο σύνολο M, διότι διαφορετικά θα ήταν ελάχιστο στοιχείο του M.

Είπαμε: Υποθέσαμε ότι το M *δεν* έχει ελάχιστο στοιχείο!

Άρα ισχύει m > n για κάθε m του M και συνεπώς m ≥ n+1. Άρα η πρόταση (1.2.1) ισχύει και για τον φυσικό αριθμό n+1 και σύμφωνα με τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής ισχύει η (1.2.1) για όλους τους φυσικούς αριθμούς.

Και τώρα το τελειωτικό χτύπημα:

Η πρόταση όμως αυτή οδηγεί στο εξής άτοπο. Για κάθε m του M ισχύει m ≥ m+1.

Το συμπέρασμα; Ιδού:

Άρα δεν υπάρχει μη κενό υποσύνολο του συνόλου των φυσικών αριθμών, το οποίο δεν έχει ελάχιστο στοιχείο.

Εκπληκτικό; Ξεκινήσαμε από κάτι προφανές, το αμφισβητήσαμε και κατόπιν αποδείξαμε, αυστηρά και πέρα από κάθε αμφιβολία, την αλήθεια του αρχικού “κάτι”.

Θα αναρωτιέστε, ίσως, τι αξία έχουν τέτοιες νοητικές ασκήσεις. Εντάξει, τα Μαθηματικά είναι πράγματι χρήσιμα για τις άλλες επιστήμες (όπως επίσης και για τα ίδια τα Μαθηματικά), όμως τι νόημα έχει να κοπανάμε το κεφάλι μας στον τοίχο, μόνο και μόνο για ν’ αποδείξουμε ότι *και* αύριο ο ήλιος θα βγει από την ανατολή;

Κάπου εδώ, οι σεβαστοί κύριοι καθηγητές –κι όχι μόνο οι μαθηματικοί– θα είχαν πολλά να πουν. Ο γράφων βέβαια δεν είναι ούτε καθηγητής (ούτε και σεβαστός), θυμάται όμως κάτι που συχνά άκουγε από άλλους σεβαστούς καθηγητές: “Μάθετε Μαθηματικά, για να μάθετε να σκέφτεστε και να μη σας πιάνουν κορόιδο.”

Καλά τα έλεγαν, οι σεβαστοί κύριοι καθηγητές. Μόνο που στην πράξη κάτι τέτοιο είναι εύκολο να το λες έτσι, γενικά, αλλά τρομακτικά δύσκολο να το υιοθετείς στην καθημερινότητά σου. Εγώ, π.χ., μετά από ζωηρές συζητήσεις και διαλόγους, πάνω σε σοβαρά θέματα, συχνά συνειδητοποιώ ότι ήμουν εντελώς ό,τι να ‘ναι, αφού δεν είχα ειρμό κι έκανα το γελοίο λάθος να ρίξω τη μπάλα στην εξέδρα. Η μαθηματική σκέψη υποτίθεται ότι σε προστατεύει από τέτοια λογικά σφάλματα, αφού οι μαθηματικοί συλλογισμοί έχουν, αν μη τι άλλο, αρχή, μέση και τέλος.

Άντε όμως να διατηρήσεις τον ειρμό σου στην Αληθινή Ζωή (TM), όταν, π.χ., έχεις γνωστούς που στο πρόσφατο δημοψήφισμα ήταν με το Όχι, μετά όμως χάρηκαν με τη συμφωνία που ακολούθησε και στο καπάκι ψήφισαν και πάλι Αλέξη.

Αλλά τι τα θέλετε, φίλες και φίλοι; Τα Μαθηματικά είναι λίγα για την Αληθινή Ζωή (TM), όπου τα ελάχιστα στοιχεία ουκ ολίγες φορές τοποθετούνται σε μέγιστες θέσεις.

Εντάξει, αυτό το τελευταίο ήταν φτηνό — και σίγουρα καθόλου μαθηματικό.

Leave a Reply

You must be logged in to post a comment.

Σύνδεση

Αρχείο δημοσιεύσεων