Το προφίλ μας στο Google Plus
15

Ιστορίες για το Πι

Είναι ο πλέον δημοφιλής επισκέπτης από τη χώρα των μαθηματικών. Σε αντίθεση με άλλα, βαριά κι εχθρικά σύμβολα, το Πι είναι ιδιαίτερα φιλικό. Προσοχή, όμως: συχνά προκαλεί επικίνδυνες εμμονές!

Όπου κι αν στρέψουμε το βλέμμα μας στον φυσικό κόσμο διακρίνουμε κύκλους ή τους συγγενείς τους από τον τρισδιάστατο χώρο, τις σφαίρες. Οι πλανήτες είναι σχεδόν σφαιρικοί κι ακολουθούν κυκλικές τροχιές αν και οι δυνάμεις της βαρύτητας τις παραμορφώνουν ελαφρώς, ώστε τελικά να είναι ελλειψοειδείς. Μια φθινοπωρινή μέρα οι πρώτες σταγόνες βροχής πέφτουν σε μια λίμνη σχηματίζοντας κύματα που διαδίδονται κυκλικά, έως ότου συναντήσουν άλλα κύματα ή την όχθη. Aν κοιτάξουμε κατακόρυφα κι από ψηλά τα κλαδιά ενός δέντρου θα δούμε ότι απλώνονται γύρω από τον κορμό κυκλικά, σε μια προσπάθεια να δημιουργήσουν τη μέγιστη δυνατή επιφάνεια πρόσληψης ηλιακού φωτός. Εξάλλου, αν κάνουμε ένα μακρύτερο ταξίδι στο παρελθόν, θα διαπιστώσουμε ότι από τη στιγμή που ο προϊστορικός άνθρωπος εφηύρε τον τροχό, ουσιαστικά έκανε ένα τεράστιο τεχνολογικό άλμα: Πριν καλά καλά το συνειδητοποιήσει είχε ξεκινήσει ένα περιπετειώδες, συναρπαστικό ταξίδι τεχνολογικής καινοτομίας και προόδου — χωρίς εισιτήριο επιστροφής.

Αλλά ο κύκλος δεν απαντάται μόνο στη φύση ή στις κατασκευές του ανθρώπου. Από μικροί αντιλαμβανόμαστε ότι η διαδοχή των εποχών είναι κυκλική. Αυτό δεν δείχνουν και οι μεγάλοι εποχικοί χάρτες στις σχολικές αίθουσες, που τόσο έχουμε συνηθίσει ως εικόνα από τα μαθητικά μας χρόνια; Επίσης, αρκετές από τις δουλειές και τις υποχρεώσεις μας τις προγραμματίζουμε με τέτοιο τρόπο, ώστε να επαναλαμβάνονται περιοδικά μέσα σε συγκεκριμένα χρονικά διαστήματα — με άλλα λόγια να επαναλαμβάνονται κυκλικά. Κάτι παρόμοιο ισχύει και με τις επετείους ή τις εορτές. Αρκετοί ιστορικοί είναι πεπεισμένοι ότι η ίδια η ανθρώπινη ιστορία είναι κυκλική, υπό την έννοια ότι γεγονότα μείζονος σημασίας, όπως, π.χ., η άνοδος, η ακμή και η πτώση μιας αυτοκρατορίας συνέβαιναν, συμβαίνουν και θα συμβαίνουν αναπόφευκτα.

Για τους ανθρώπους των πρώιμων κιόλας πολιτισμών ο κύκλος συμβόλιζε το άπειρο και το άχρονο, αφού είναι ένα σχήμα χωρίς αρχή και τέλος. Ταυτόχρονα, εξαιτίας της γοητευτικής του απλότητας αποτελούσε το ιδανικότερο πάντρεμα μεταξύ τελειότητας κι αρμονίας. Σε πολλές κοινωνίες θεωρούταν ως η πλέον αντιπροσωπευτική εκδήλωση της θεόσταλτης παγκόσμιας τάξης, σίγουρα ένα από τα κλειδιά για την αποκάλυψη των μυστηρίων του σύμπαντος. Κι όμως, σύντομα έμελλε να αποδειχτεί ότι το απόλυτο σύμβολο της τάξης κρύβει μέσα του μια ασύλληπτα χαοτική δομή…

Το αντίθετο προκαλεί
Γεωμετρικά, θα μπορούσαμε να πούμε ότι το τετράγωνο, το σχήμα με τις τέσσερις ίσες πλευρές και τις τέσσερις ίσες γωνίες, είναι το αντίθετο το κύκλου. Το τετράγωνο συμβολίζει το πεπερασμένο, ενώ ο κύκλος το άπειρο. Το ότι τα δύο αυτά σχήματα είναι αντίθετα, αποτελεί αντίληψη που πολλοί άνθρωποι αποκτούν από τα μαθητικά κιόλας χρόνια. Πράγματι, ενώ ο κύκλος χαράζεται πολύ εύκολα με χρήση ενός διαβήτη, για να σχεδιάσουμε ένα όμορφο τετράγωνο πρέπει να πάρουμε ένα χάρακα –κατά προτίμηση ένα ορθογώνιο τρίγωνο– και σε κάθε βήμα να μετράμε, προσέχοντας την ίδια στιγμή να φτιάχνουμε σωστές ορθές γωνίες.

Από την εποχή της αρχαιότητας είχε τεθεί ένα απλό, εκ πρώτης όψεως, πρόβλημα: Ζητείται η σχεδίαση ενός τετραγώνου που θα καλύπτει την ίδια ακριβώς επιφάνεια με ένα δοσμένο κύκλο. Α, η κατασκευή πρέπει να ολοκληρωθεί σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων και να χρησιμοποιηθούν μόνον κανόνας και διαβήτης, ούτως ώστε να μιλάμε για μια καθαρά ευκλείδεια κατασκευή. Πρόκειται για το διάσημο πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου. Προς μεγάλη απογοήτευση και στεναχώρια των τετραγωνιστών –έτσι ονομάστηκαν όλοι όσοι ασχολήθηκαν με αυτό–, σύντομα φάνηκε ότι το πρόβλημα ήταν απίστευτα πιο δύσκολο απ’ όσο αρχικά φάνταζε. Σήμερα γνωρίζουμε ότι δεν επιδέχεται λύση, εκτός κι αν αρθεί τουλάχιστον ένας από τους προαναφερθέντες περιορισμούς: η χρήση μόνο κανόνα και διαβήτη ή το πεπερασμένο της διαδικασίας κατασκευής.

Σε όλη τη διάρκεια της καταγεγραμμένης ιστορίας του ανθρώπινου πολιτισμού, θεωρούταν αυτονόητο ότι ο άνθρωπος κάποια στιγμή θα ανακάλυπτε μια σχέση μεταξύ κύκλου και τετραγώνου. Ακόμη και σήμερα αρκετοί πεισματάρηδες, ερασιτέχνες γεωμέτρες και αλγεβριστές, είναι βέβαιοι ότι ο τετραγωνισμός του κύκλου είναι πέρα για πέρα εφικτός. Για εκείνους, οι μέχρι σήμερα αποτυχίες οφείλονται στην άγνοια που έχουμε για κάποια σημαντική λεπτομέρεια, η οποία όμως όπου να ‘ναι θα αποκαλυφτεί. Ορισμένοι μάλιστα τετραγωνιστές φτάνουν στο σημείο να ισχυριστούν ότι όλοι οι μαθηματικοί που διατείνονται ότι το πρόβλημα είναι άλυτο, δεν είναι παρά φερέφωνα μια παγκόσμιας συνωμοτικής οργάνωσης. Μάλλον είναι οι ίδιοι που γνωρίζουν ότι οι εξωγήινοι ζουν ανάμεσά μας, παρά των αντίθετων ισχυρισμών που προέρχονται από τις Αρχές και τους “μεγάλους”.

Τι είναι το \pi;
Μαθηματικός: Είναι ο αριθμός που προκύπτει αν διαιρέσουμε το μήκος της περιφέρειας ενός οποιουδήποτε κύκλου προς το μήκος της διαμέτρου του.
Φυσικός: Το \pi ισούται με 3,14159265 συν-πλην 0,000000005.
Μηχανικός: Το \pi είναι περίπου 3.

Πόσο ακριβώς κάνει;
Δεν είναι γνωστό πότε ανακαλύφτηκε για πρώτη φορά ότι ο λόγος οποιουδήποτε κύκλου προς τη διάμετρό του είναι σταθερός. Ασχέτως αν μιλάμε για τον κύκλο που σχηματίζει το καπάκι μια κονσέρβας, για τον ισημερινό της γης ή το μέγιστο κύκλο που οριοθετεί το έως σήμερα ορατό σύμπαν, αν διαιρέσουμε το μήκος της περιφέρειας προς το μήκος της διαμέτρου, θα πάρουμε τον ίδιο αριθμό.

Ποια είναι η ακριβής τιμή αυτού του λόγου; Σε πρώτη προσέγγιση, αρκεί να πάρουμε ένα κομμάτι σπάγκο, να το τυλίξουμε προσεκτικά γύρω από μια κονσέρβα και να σημειώσουμε το σημείο που “κλείνει” ο κύκλος. Ακολούθως, μετράμε με έναν καλό χάρακα το μήκος από την αρχή του σπάγκου μέχρι το σημάδι που μόλις κάναμε, έπειτα διαιρούμε με το μήκος της διαμέτρου. Εύκολα θα διαπιστώσουμε ότι η αριθμητική τιμή του λόγου, που διεθνώς συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα \pi, είναι κάτι περισσότερο από τρία.

Οι λεπτολόγοι θα πάνε λίγο παρακάτω και θα βρουν ότι \pi\approx 3,14. Αν τώρα αντί για κονσέρβα δουλέψουμε με ένα μεγάλο στεφάνι κι έναν χάρακα ακριβείας, θα βρούμε ότι ο υπό συζήτηση λόγος είναι ελάχιστα μεγαλύτερος από την τιμή 3,1415. Υπάρχουν μέθοδοι που παρέχουν ακριβέστερες τιμές, όπως την 3,14159265 ή την 3,1415926535897932. Αλίμονο, όμως, καμία τους δεν είναι η αληθινή τιμή του \pi. Ευτυχώς, για τις περισσότερες πρακτικές εφαρμογές, π.χ., τον υπολογισμό της περιμέτρου ενός κύκλου ή του εμβαδού που περικλείει, γύρω στα έξι δεκαδικά ψηφία είναι υπεραρκετά. Ένας μηχανικός ίσως χρειαστεί περισσότερα –ας πούμε δέκα–, ωστόσο ακόμα και είκοσι να θέλει είναι πολύ εύκολο να τα έχει.

Μολαταύτα για αρκετούς ερευνητές εκατό, χίλια ή ένα εκατομμύριο δεκαδικά ψηφία δεν είναι αρκετά. Όχι ότι τα χρειάζονται, αλλά είναι πολύ ενοχλητικό να μη γνωρίζουν την ακριβή τιμή του \pi. Αυτή η ενόχληση ίσως γίνεται περισσότερο κατανοητή, αν σκεφτούμε ότι το κυνήγι των δεκαδικών ψηφίων του \pi ξεκινά από το απλούστερο γεωμετρικό σχήμα στο σύμπαν, τον κύκλο, ο οποίος, μεταξύ άλλων, παραπέμπει στην τελειότητα. Ιδιαίτερα στην εποχή μας, όπου διαθέτουμε όργανα τεράστιας ακριβείας και είμαστε σε θέση να μετράμε αποστάσεις και μεγέθη στον αόρατο μικρόκοσμο, είναι επιεικώς απαράδεκτο να μας ξεγλιστρά η ακριβής τιμή του \pi. Οι μαθηματικοί βέβαια γνωρίζουν πολύ καλά τα αίτια της αποτυχίας, μόνο που η επίγνωση αυτή δεν τους κάνει περισσότερο ευτυχείς.

Το \pi από κοντά
Το \pi ανήκει στην οικογένεια των λεγόμενων άρρητων αριθμών, δηλαδή εκείνων με άπειρα δεκαδικά ψηφία που μάλιστα δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ως κλάσμα δύο ακεραίων αριθμών. Με άλλα λόγια, αυτό σημαίνει ότι για το \pi δεν υπάρχει ζεύγος ακεραίων αριθμών m και n, έτσι ώστε να ισχύει \pi=\frac{m}{n}. Τα κλάσματα λέγονται και ρητοί αριθμοί. Μερικοί από αυτούς έχουν πεπερασμένο πλήθος δεκαδικών ψηφίων, όπως, π.χ., οι \frac{1}{4}=0,25, \frac{5}{4}=1,25, \frac{3}{8}=0,375 κ.ο.κ. Υπάρχουν όμως και ρητοί αριθμοί με άπειρο πλήθος δεκαδικών ψηφίων. Παραδείγματα αποτελούν οι \frac{1}{3}=0,33333\dotsc, \frac{7}{11}=0,6363636363\dotsc, \frac{31}{14}=2,2142857142857142857\dotsc κι ένα σωρό άλλοι. Το καλό με τους ρητούς είναι ότι ακόμη κι εκείνοι που έχουν άπειρα ψηφία μετά την υποδιαστολή, εμφανίζουν μια κάποια κανονικότητα. Συγκεκριμένα, αργά ή γρήγορα ομάδες ψηφίων επαναλαμβάνονται περιοδικά. Έτσι, στο δεκαδικό ανάπτυγμα του ρητού 1/3 επαναλαμβάνεται ες αεί το ψηφίο 3, σε αυτό του 7/11 επαναλαμβάνεται το κομμάτι 63, ενώ στην περίπτωση του 31/14 εμφανίζεται αμέσως μετά την υποδιαστολή το 2 κι έπειτα επαναλαμβάνεται συνεχώς η ομάδα 142857. Στους άρρητους αριθμούς, όμως, τα ψηφία μετά την υποδιαστολή εμφανίζονται εντελώς τυχαία, χωρίς να ακολουθούν κανένα νόμο, χωρίς να παρουσιάζουν κανενός είδους μοτίβο.

Όπως είπαμε, λοιπόν, ο \pi είναι άρρητος αλλά, δυστυχώς, οι ιδιοτροπίες του δεν σταματούν εκεί. Επιπρόσθετα, ο αριθμός αυτός είναι υπερβατικός. (Ο πρώτος που έδειξε ότι υπάρχουν τέτοιοι αριθμοί ήταν ο γάλλος μαθηματικός Joseph Liouville, το 1844.) Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει πολυωνυμική εξίσωση με ακέραιους συντελεστές που να τον δέχεται ως λύση της. (Με βάση το γεγονός αυτό αποδεικνύεται ότι είναι αδύνατος ο τετραγωνισμός του κύκλου σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων και με χρήση μόνο κανόνα και διαβήτη.) Αξίζει να παρατηρήσουμε στο σημείο αυτό ότι δεν είναι όλοι οι άρρητοι αριθμοί υπερβατικοί. Ένα κλασσικό παράδειγμα είναι ο \sqrt{2} (η τετραγωνική ρίζα του 2), ο οποίος είναι λύση της πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές x^2 = 2 κι επομένως δεν είναι υπερβατικός. (Οι υπερβατικοί αριθμοί είναι άπειροι, όπως εξάλλου και οι άρρητοι αριθμοί που δεν είναι υπερβατικοί. Αποδεικνύεται, ωστόσο, ότι οι υπερβατικοί άρρητοι είναι κατά πολύ “περισσότεροι” από τους απλούς άρρητους. Με άλλα λόγια, μεταξύ των άρρητων αριθμών οι υπερβατικοί αποτελούν τον κανόνα παρά την εξαίρεση.)

Βλέπουμε λοιπόν ότι ο \pi είναι ένας ατίθασος αριθμός που δύσκολα μπαίνει σε καλούπια, στοιχείο που σίγουρα εκπλήσσει αν αναλογιστούμε την απλοϊκή του καταγωγή. Κι όμως, ο αριθμός αυτός δεν έχει σχέση μόνο με τον κύκλο. Συχνά εμφανίζεται σε διάφορα πεδία της επιστήμης, μάλιστα εκεί που κανείς δεν θα περίμενε να τον συναντήσει, όπως, π.χ., στη Θεωρία Πιθανοτήτων ή σε διάφορα πεδία της Φυσικής.

Έβερεστ; Ποιο Έβερεστ;
Αφού το \pi είναι άρρητος αριθμός και μάλιστα υπερβατικός, γιατί κάποιοι άνθρωποι, μαθηματικοί και μη, επιδίδονται σε ανελέητα κυνηγητά για ολοένα και περισσότερα δεκαδικά ψηφία; Όπως προείπαμε, για κάθε πρακτική εφαρμογή, όπως, π.χ., μια αρχιτεκτονική κατασκευή ή ακόμα και μια διαστημική αποστολή στον Άρη, μερικά δεκαδικά ψηφία αρκούν για να δώσουν στους υπολογισμούς μας την επιθυμητή ακρίβεια. Γιατί λοιπόν κάποιοι δεν ικανοποιούνται ούτε με τα τρισεκατομμύρια ψηφία που έχουν υπολογιστεί έως σήμερα; Μήπως αυτοί οι κάποιοι είναι απλά σχιζοφρενείς και πρέπει επειγόντως να νοσηλευτούν;

Αυτό το τελευταίο σίγουρα ακούγεται αρκετά προκλητικό και δεν μπορεί να αγνοηθεί, έτσι απλά. “Γιατί οι άνθρωποι ανέβηκαν στην κορυφή του Έβερεστ;”, ανταπαντούν οι κυνηγοί του \pi. “Μήπως επειδή περίμεναν να βρουν εκεί πάνω τίποτε πιο σπουδαίο πέρα από χιόνι; Όχι βέβαια. Απλά, πάτησαν την κορυφή του Έβερεστ μόνο και μόνο επειδή υπήρχε και προκαλούσε”. “Γιατί έγινε επανδρωμένη αποστολή στη Σελήνη;”, συνεχίζουν ακάθεκτοι. “Δεν ήξεραν τότε ότι η Σελήνη είναι ένας ερημότοπος, χωρίς ίχνος ζωής; Φυσικά και το ήξεραν. Απλά, ο άνθρωπος πάτησε στη Σελήνη επειδή εκείνη τυχαίνει να βρίσκεται εκεί που βρίσκεται και να μας προκαλεί”.

Άλλη μια φορά πέφτουμε πάνω στην ανήσυχη κι ακούραστη ανθρώπινη φύση. Οι άνθρωποι συχνά αναζητούν την περιπέτεια, συνεχώς επιδιώκουν να ξεπερνούν τα όρια, όπου κι αν τα διακρίνουν. Όταν κατακτήσουν μια κορυφή, δεν αργούν να στρέψουν το βλέμμα τους προς μια ψηλότερη. Αν μάλιστα αποτύχουν να δουν την επόμενη κορυφή, τότε πολύ απλά θα φροντίσουν να κατασκευάσουν μία από μόνοι τους! Το εκπληκτικό στην όλη ιστορία είναι ότι οι αναζητήσεις δεν περιορίζονται μόνο στον απτό, φυσικό κόσμο. Επεκτείνονται και στον κόσμο του πνεύματος, όπως, π.χ., στον κόσμο των μαθηματικών. (Ναι, τα μαθηματικά είναι βαθιά πνευματική ενασχόληση, δεν αποτελούν αυτό που κάποιοι αποκαλούν “ψυχρή επιστήμη”.) Αναφορικά με τον υπολογισμό των δεκαδικών ψηφίων του \pi, η αναζήτηση έχει ουσιαστικά ξεκινήσει από την αρχαιότητα, συνεχίζεται έως τις μέρες μας και σίγουρα θα συνεχίζεται και στο μέλλον.

Ανελέητο κυνηγητό
Βρισκόμαστε κάπου ανάμεσα στο 287 με 212 π.Χ. Ο Αρχιμήδης από τις Συρακούσες της Σικελίας, ο άνθρωπος που εκ των υστέρων χαρακτηρίστηκε ως ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς κι εφευρέτες της αρχαίας Ελλάδας, επινοεί μια εκπληκτική μέθοδο για να υπολογίσει το \pi. Αρχικά διαγράφει ένα μοναδιαίο κύκλο, δηλαδή έναν κύκλο με ακτίνα ίση με μία μονάδα μήκους. Συνεχίζει σχεδιάζοντας ένα κανονικό εξάγωνο μέσα στον κύκλο (εγγεγραμμένο) καθώς κι ένα κανονικό εξάγωνο γύρω από τον κύκλο (περιγεγραμμένο). Τα μήκη των δύο εξαγώνων υπολογίζονται εύκολα και με ακρίβεια. Το μήκος του μοναδιαίου κύκλου είναι 2\pi και, προφανώς, είναι μεγαλύτερο από το μήκος του εγγεγραμμένου και μικρότερο από αυτό του περιγεγραμμένου πολυγώνου. Ο Αρχιμήδης τετραπλασιάζει διαδοχικά τον αριθμό πλευρών του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου πολυγώνου, καταλήγοντας τελικά σε δύο 96άγωνα. Μετά τον υπολογισμό των μηκών τους έχει καταφέρει να στριμώξει αρκετά τον αριθμό 2\pi, επομένως και το ίδιο το \pi. Αν και στην πραγματικότητα έχει υπολογίσει μόνο ένα κατώτερο κι ένα ανώτερο όριο για την πραγματική τιμή, παίρνοντας το μέσο όρο καταλήγει στην ακριβέστατη, για τα δεδομένα της εποχής, τιμή \pi\approx 3,1419.

Η μέθοδος που χρησιμοποίησε ο Αρχιμήδης βασιζόταν σε προηγούμενη εργασία των Αντιφώντα και Βρύσωνα από την Ηράκλεια (469 – 399 π.Χ.), οι οποίοι χρησιμοποίησαν εγγεγραμμένα και περιγεγραμμένα πολύγωνα για να υπολογίσουν το εμβαδόν του κύκλου. Η εργασία τους αποτέλεσε την πρώτη εφαρμογή της μεθόδου της εξαντλήσεως, μια από τις βασικότερες τεχνικές του σύγχρονου Απειροστικού Λογισμού.

Μετά από ένα ταξίδι στο χωροχρονικό συνεχές σταθμεύουμε στη Γαλλία, κοντά στα τέλη του 16ου αιώνα, όπου ο δικηγόρος κι ερασιτέχνης μαθηματικός Φρανσουά Βιετ πετυχαίνει την ακριβέστερη προσέγγιση του \pi μέχρι την εποχή του. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Αρχιμήδη, βρίσκει ότι το \pi κατοικεί κάπου ανάμεσα στο 3,1415926535 και στο 3,1415926537. Για να φτάσει στο συγκεκριμένο συμπέρασμα υπολογίζει τις περιμέτρους ενός εγγεγραμμένου και ενός περιγεγραμμένου πολυγώνου με 393216 (!) πλευρές το καθένα. Όμως το πραγματικό επίτευγμα του Βιετ είναι ότι για πρώτη φορά εξέφρασε μαθηματικά το \pi ως άπειρο γινόμενο:

\frac{2}{\pi} = \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}}} \cdots

Αν θέσουμε f_0 = \sqrt{\frac{1}{2}} και f_n = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot f_{n-1}}, για κάθε n > 0, τότε μπορούμε να γράψουμε

\frac{2}{\pi} = f_0 \cdot f_1 \cdot f_2 \cdots f_{k-1} \cdot f_k \cdot f_{k+1} \cdots

Όπως και ο Αρχιμήδης έτσι και ο Βιετ, χωρίς να το γνωρίζει μόλις είχε κάνει ένα βήμα προς τον σύγχρονο Απειροστικό Λογισμό.

Αν η δουλειά του Βιετ με τα πολύγωνα των 393216 πλευρών φαντάζει κάπως εκκεντρική, τότε ίσως πρέπει να μνημονεύσουμε τον Ολλανδό μαθηματικό Αντριάν Ρομάνους, ο οποίος το 1594 βρήκε 15 δεκαδικά ψηφία του \pi. Για το καταφέρει χρησιμοποίησε ένα εγγεγραμμένο πολύγωνο με πάνω από 100 εκατομμύρια πλευρές. Αλλά η παράνοια δεν έμελλε να τελειώσει με το κατόρθωμα του Ρομάνους. Ο γερμανός μαθηματικός του 16ου αιώνα Λούντολφ βαν Σόιλεν, αφιέρωσε χρόνια ολόκληρα από τη ζωή του για να υπολογίσει 20 δεκαδικά ψηφία του \pi. Κι εκείνος κατέφυγε στην παλιά, καλή δοκιμασμένη μέθοδο του Αρχιμήδη. Μόνο που τα πολύγωνά του Σόιλεν είχαν πάνω από 32 δισεκατομμύρια πλευρές το καθένα. Μέχρι το θάνατό του, το 1610, ο βαν Σόιλεν είχε υπολογίσει 35 δεκαδικά ψηφία, χρησιμοποιώντας ουσιαστικά μια πανάρχαια μέθοδο υπολογισμού (Στη Γερμανία ακόμη και σήμερα το \pi συχνά αναφέρεται ως Λουντολφικό Νούμερο, die Ludolphsche Zahl, προς τιμήν του μαθηματικού Λούντολφ βαν Σόιλεν.)

Στις αρχές του 17ου αιώνα έχει γίνει πλέον φανερό ότι οι ως τότε χρησιμοποιούμενες μέθοδοι για τον υπολογισμό του \pi είναι επιεικώς αναποτελεσματικές. Αν οι μαθηματικοί θέλουν περισσότερα ψηφία του \pi χωρίς όμως να ξοδέψουν τη ζωή τους ολόκληρη σε υπολογισμούς, τότε πρέπει να επινοήσουν νέες, ριζοσπαστικές ιδέες. Την αρχή κάνει ο Άγγλος μαθηματικός και κρυπτογράφος Τζον Ουόλις, όπου το 1655 επινοεί έναν απλό τύπο για τον υπολογισμό του \pi. Ο τύπος, αν και άπειρο γινόμενο, δεν περιλαμβάνει περίπλοκους υπολογισμούς με τετραγωνικές ρίζες, ενώ οι εμπλεκόμενοι αριθμοί είναι ακέραιοι κι όχι κλάσματα:

\frac{\pi}{2} = (2^2 \cdot 4^2 \cdot 6^2 \cdot 8^2 \cdot 10^2 \cdots) / (3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2 \cdot 9^2 \cdot 11^2 \cdots)

Ο τύπος του Ουόλις είναι πολύ απλός αλλά έχει ένα σημαντικό μειονέκτημα: συγκλίνει αργά προς το \pi. Κι άλλοι σπουδαίοι μαθηματικοί του 17ου αιώνα, μεταξύ αυτών οι Μπλεζ Πασκάλ, Γιόχαν Κέπλερ και Πιέρ ντε Φερμά, συνεισφέρουν στο πρόβλημα, προετοιμάζοντας ουσιαστικά την επανάσταση του Απειροστικού Λογισμού. Το 1678 ο Γερμανός μαθηματικός Γκέτφριντ Βίλχελμ φον Λάιμπνιτς, ένας εκ των θεμελιωτών του Απειροστικού Λογισμού, χρησιμοποιεί τον ήδη γνωστό τύπο με το τόξο εφαπτομένης του Σκοτσέζου Τζέιμς Γκρέγκορι,

\arctan{x} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \frac{x^9}{9} - \frac{x^{11}}{11} + \cdots

για να συνάγει έναν ιδιαίτερα απλό τύπο για το \pi:

\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \cdots

Για να φτάσει στον τύπο αυτό, ο Λάιμπνιτς έκανε μια εξαιρετικά απλή κι έξυπνη κίνηση την οποία ο Γκρέγκορι, όλως περιέργως, απέτυχε να δει. Έθεσε στον τύπο με το τόξο εφαπτομένης x = 1, για το οποίο ισχύει \arctan{1} = \frac{\pi}{4}. Δυστυχώς η εν λόγω σειρά, παρά την απλότητά της έχει το ίδιο μειονέκτημα με το γινόμενο Ουόλις: συγκλίνει πολύ αργά. Αρκεί να πούμε ότι χρειάζονται τριακόσιοι όροι για να πάρουμε δύο μόλις δεκαδικά ψηφία του \pi.

Το 1699 ο Άμπραχαμ Σαρπ χρησιμοποιεί μια ειδική μορφή της σειράς του Γκρέγκορι, για να υπολογίσει 72 ψηφία του \pi. Είκοσι χρόνια αργότερα ο γάλλος μαθηματικός Τομά Φαντέ ντε Λανί υπολογίζει 127 ψηφία, επίσης καταφεύγοντας στη σειρά του Γκρέγκορι. Δυστυχώς για τον Λανί, ο αυστριακός συνάδελφός του Γκέοργκ Βέγκα δείχνει ότι οι υπολογισμοί που έκανε είναι εν μέρει λανθασμένοι. Ο Βέγκα χρησιμοποιεί την ίδια τεχνική με τον ντε Λανί και βρίσκει 140 ψηφία του \pi. Στην πορεία, όμως, διαπιστώνει ότι τα ψηφία του ντε Λανί από 113ο έως και το τελευταίο, το 127ο, είναι όλα λάθος.

Στα μέσα του 18ου αιώνα, ο τιτάνας των μαθηματικών, ο Ελβετός Λέοναρντ Όιλερ, στρέφει για λίγο την προσοχή του στον υπολογισμό του \pi. Μεταξύ των καρπών της εργασίας του συγκαταλέγεται ένας τύπος, με χρήση του οποίου καθίσταται δυνατός ο υπολογισμός είκοσι ψηφίων του \pi σε μια μόλις ώρα. Μετά τα λαμπρά επιτεύγματα του Όιλερ, κατά τη διάρκεια του 19ου αιώνα παρατηρείται μια στασιμότητα στο θέμα. Και ξαφνικά, στις αρχές του 20ου αιώνα, το ενδιαφέρον των μαθηματικών αναζωπυρώνεται. Αργότερα, περί τα μέσα του αιώνα, το κυνήγι των δεκαδικών ψηφίων του \pi φουντώνει για τα καλά. Για πρώτη φορά οι ερευνητές έχουν στα χέρια τους ένα πανίσχυρο όπλο: τον ηλεκτρονικό υπολογιστή. Το 1948 τίθεται σε λειτουργία ο αμερικανικής κατασκευής υπολογιστής ENIAC (Electronic Numerical Integrator And Computer). Ένα χρόνο αργότερα, οι Νόιμαν, Ράιτγουινσερ και Μιτρόπολις βάζουν τον ENIAC να βρει 2037 ψηφία του \pi. Συνυπολογίζοντας το χρόνο που έπαιρνε η εισαγωγή διάτρητων καρτών στο μηχάνημα, το εγχείρημα ολοκληρώνεται σε εβδομήντα περίπου ώρες. Ο άθλος σύντομα επισκιάζεται, όταν το 1954 ο υπολογιστής NORC (Naval Ordnance Research Calculator) βρίσκει 3089 ψηφία σε περίπου δεκατρία λεπτά. Αναμφίβολα, ο NORC αποτελεί δελεαστική πρόταση αναβάθμισης για τους χρήστες του ENIAC!

Το 1958, στο Κέντρο Επεξεργασίας Πληροφοριών στο Παρίσι επιστρατεύεται ένας IBM 704 και οι επιστήμονες υπολογίζουν τα 707 πρώτα δεκαδικά ψηφία του \pi, σε σαράντα μόλις δευτερόλεπτα. Η ίδια ομάδα δεν θα αργήσει να ξεπεράσει το φράγμα των 10000 ψηφίων, με υπολογισμούς που διαρκούν 100 περίπου λεπτά. Τρία χρόνια αργότερα ξεπερνιέται και το φράγμα των 100000 δεκαδικών ψηφίων, αυτή τη φορά με χρήση ενός IBM 7090. Ένας ανελέητος ανταγωνισμός έχει ήδη ξεσπάσει. Ερευνητές σε Αμερική κι Ευρώπη χρησιμοποιούν ολοένα και ισχυρότερους υπολογιστές για να βρουν ολοένα και περισσότερα δεκαδικά ψηφία. Το 1973, οι Ζαν Γκιγιού και Μ. Μπουγιέ υπολογίζουν το εκατομμυριοστό ψηφίο του \pi: είναι το 1. Το 1982 οι Ιάπωνες μπαίνουν δυναμικά στο παιχνίδι. Οι Γιοσιάκι Ταμούρα και Γιασουμάσα Κάναντα προγραμματίζουν έναν τετραγωνικά συγκλίνοντα αλγόριθμο (με έναν τέτοιο αλγόριθμο ο αριθμός των σημαντικών ψηφίων διπλασιάζεται μετά από κάθε βήμα υπολογισμού) που εμπνεύστηκε το 1976 ο Γιουτζίν Σάλαμιν, σε έναν υπολογιστή Hitac M-280H. Το αποτέλεσμα είναι 8388608 δεκαδικά ψηφία σε λιγότερο από επτά ώρες.

Στα επόμενα χρόνια οι αδελφοί Ντέιβιντ και Γκρέγκορι Τσουντνόφσκι, καθώς και οι αδελφοί Πίτερ και Τζόναθαν Μπόργουιν, ακολουθούν το δρόμο που χάραξε ο Σάλαμιν εισάγοντας ακόμα πιο αποδοτικούς αλγόριθμους. Οι μαθηματικοί για πρώτη φορά διαθέτουν πανίσχυρα εργαλεία για τον υπολογισμό του \pi, τόσο νοητικά (αλγόριθμοι) όσο και υλικά (υπολογιστές). Μεταξύ 1988 και 1995 ξεσπά έντονος ανταγωνισμός ανάμεσα στους αδελφούς Τσουντνόφσκι από τη μια και τον Γιασουμάσα Κάναντα από την άλλη. Πρώτος πυροβολεί ο Κάναντα, με πάνω από 100 εκατομμύρια ψηφία. Οι Τσουντνόφσκι αντιδρούν άμεσα υπολογίζοντας 525 εκατομμύρια ψηφία. Βαρύ το χτύπημα για τον Κάναντα, ανταποδίδει όμως με 536 εκατομμύρια ψηφία. Μετά από αυτό οι αδελφοί Τσουντνόφσκι συνειδητοποιούν ότι δεν έχουν άλλη επιλογή παρά να υπολογίσουν ένα δισεκατομμύριο ψηφία… κι ο αγώνας συνεχίζεται.

Μερικά (εκπληκτικά) γεγονότα σχετικά με το \pi

  • Στο αλφάβητό μας το \pi είναι το δέκατο έκτο γράμμα και το 16 είναι το τετράγωνο του 4. Στα αγγλικά το π γράφεται pi. Το γράμμα p είναι επίσης το δέκατο έκτο του αγγλικού αλφαβήτου και το i είναι το ένατο. Το 9 είναι το τετράγωνο του 3. Αν προσθέσουμε το 16 με το 9 παίρνουμε 25, το τετράγωνο του 5. Αν πολλαπλασιάσουμε το 16 με το 9 παίρνουμε 144, το τετράγωνο του 12. Αν διαιρέσουμε το 9 με το 16 παίρνουμε 0,5626, δηλαδή το τετράγωνο του 0,75. Πολλά τετράγωνα μαζεύτηκαν και γι’ αυτό δεν είναι τυχαίο όταν κάποιοι λένε ότι το \pi είναι τετραγωνισμένο.
  • Ο κύκλος χωρίζεται σε 360 μοίρες. Αν ρίξουμε μια ματιά στο 360ο ψηφίο του \pi, θα διαπιστώσουμε ότι γύρω του σχηματίζεται ο αριθμός 360.
  • Στην ακολουθία που απαρτίζεται από τα πρώτα ένα εκατομμύριο δεκαδικά ψηφία του \pi, η ακολουθία ψηφίων 123456 δεν εμφανίζεται πουθενά. Η ακολουθία 012345 εμφανίζεται δύο φορές, ενώ η 12345 οκτώ.
  • Δύο ακέραιοι αριθμοί ονομάζονται σχετικά πρώτοι, αν ο μοναδικός κοινός τους διαιρέτης είναι η μονάδα. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 5 και 9 είναι σχετικά πρώτοι, αφού ο μοναδικός αριθμός που διαιρεί και τους δύο ταυτόχρονα είναι το 1. Οι αριθμοί 6 και 21 όμως δεν είναι σχετικά πρώτοι, αφού πέρα από τη μονάδα διαιρούνται ταυτόχρονα κι από το 3. Ας εκλέξουμε τώρα, εντελώς τυχαία, δύο οποιουσδήποτε ακέραιους αριθμούς. Αποδεικνύεται ότι η πιθανότητα να είναι σχετικά πρώτοι ισούται με \frac{6}{\pi^2}. Τι δουλειά έχει εδώ το \pi;
  • Ο αμερικανός μαθηματικός Τζον Κόνγουει, εφευρέτης του διάσημου κυψελωτού αυτόματου Παιχνίδι της Ζωής (Game of Life), επεσήμανε ότι αν χωρίσουμε τα ψηφία του \pi σε ομάδες των δέκα ψηφίων, τότε η πιθανότητα μία από τις ομάδες αυτές να απαρτίζεται από δέκα διαφορετικά ψηφία είναι περίπου μία στις σαράντα χιλιάδες. Πάντως δεν χρειάζεται να ψάξουμε πολύ για μια τέτοια δεκάδα, αφού η πρώτη που συναντάμε είναι η έβδομη κατά σειρά.
  • Αν εξετάσουμε το πρώτο εκατομμύριο ψηφίων του \pi θα βρούμε επταψήφιες σειρές το ίδιου αριθμού για κάθε ψηφίο, εκτός των 2 και 4.
  • Στο δικτυακό τόπο www.angio.net/pi/piquery ο επισκέπτης έχει τη δυνατότητα να αναζητήσει οποιαδήποτε ακολουθία ψηφίων μέσα στα πρώτα 100 εκατομμύρια ψηφία του \pi. Είναι διασκεδαστικό να ψάχνει κανείς ακολουθίες ψηφίων που αντιστοιχούν σε ημερομηνίες γέννησης. Για παράδειγμα, αν ένας επισκέπτης του τόπου που είναι γεννηθείς την 15η Μαΐου του 1973, θα αναζητήσει μια ακολουθία σαν την 15051973. Τότε, η μηχανή θα τον πληροφορήσει ότι η σειρά 15051973 ξεκινά από το 15192724-στό ψηφίο, μετρώντας από το πρώτο ψηφίο αμέσως μετά την υποδιαστολή. Ιδού και η γειτονιά των ψηφίων αυτών: 587568824793004268011505197361163787727832037764.

15 Responses to “Ιστορίες για το Πι”

  1. HackFreak | 04/02/2013 at 00:05

    Πολύ ωραίο άρθρο. Μπορώ να πω πως επιχείρησα να υλοποιήσω τους δύο αλγορίθμους (Ουόλις και Λαιμπνιτς) που δίδονται στο άρθρο στην c#. Ο αλγόριθμος του Ουόλις ήταν κατα πολύ λιγότερο αποτελεσματικός λόγω των δυνάμεων που μεγαλώνουν γρήγορα οπότε αναγκάστικα για να αποφύγω το overflow, να χρησιμοποιήσω BigInteger, που ως γνωστών είναι ποιό αργό στους υπολογισμούς. Εν αντιθέσει ο αλγόριθμος του Λαιμπνιτς αν και πάλι χρειάζεται πολλούς όρους υπολογίζεται πολύ ποιο γρήγορα. Για παράδειγμα υπολογισα το 3,14159265158926 με 1000000000 όρους σε (περίπου) 10 δεπτερόλεπτα. Με τον αλγόριθμο του Ουίλις ακόμα θα ….περίμενα.

    • subZraw | 04/02/2013 at 20:35

      Ναι, ωραία, αλλά τον τύπο του Φρανσουά βλέπω ότι δεν τόλμησες να τον αγγίξεις :P

      • HackFreak | 05/02/2013 at 03:46

        Ναι διότι είδα τις ρίζες εκεί και έπαθα. Πιστεύω όμως οτι θα είναι ποιό αργός απο του Λαιμπνιτς.

  2. antoni4040 | 09/02/2013 at 09:29

    Και γ*** τα άρθρα!!! Λατρεύω τον αριθμό π, ξέρω τα πρώτα 20 ψηφία απ’ έξω…
    Εδώ είναι η προσπάθεια μου με Python:
    while True:
    input_ = int(input(“Επιθυμητή Ακρίβεια:”))
    divide = 1
    pi_ = 1
    if_ = 0
    for i in range(0, input_):
    divide += 2
    if if_ == 0:
    pi_ -= (1 / divide)
    if_ = 1
    else:
    pi_ += (1 / divide)
    if_ = 0

    pi = pi_ * 4
    print(pi)

    Το while True το έβαλα για να πειραματίζομαι συνεχώς χωρίς να τελείωνει το πρόγραμμα παρά μόνο αν το κλείσω…
    Οι 1000000000 όροι μου πήρανε γύρω στα 12 λεπτά(με Python και χάλια PC…)
    Απ’την άλλη μπορεί να φταίει και το πρόγραμμα…

    • HackFreak | 09/02/2013 at 18:48

      Χμμμ, όχι δεν φταίει το πρόγραμμα, αλλά κυρίως το CPU.
      Πάντως το π είναι οτι πρέπει για parallel distirbuted computing.

  3. antoni4040 | 10/02/2013 at 01:13

    Βασικά, τώρα που το βλέπω, μόνο ένα πρόβλημα έχει: θα έπρεπε να ήταν for i in range(0, input_ – 1), αφού πρέπει να μετρηθεί και το 1 σαν όρος, σωστά? Επίσης, δεν φαίνονται τα διαστήματα στον κώδικά μου…

    • HackFreak | 10/02/2013 at 01:50

      Βασικά το i δεν επηρεάζει τον διαιρέτη οπότε δεν έχει σημασία, εφόσον χρησιμοποιείς το divide για να διαιρείς.

      Με το να βάζεις input-1 στο loop απλώς θα υπολογίζει ένα λιγότερο όρο.

      Θα μπορούσες να μην χρησιμοποιήσεις καθόλου την divide και να χρησιμοποιείς σαν διαιρέτη το i, ως εξής:

      input_ = int(input(“Επιθυμητή Ακρίβεια:”))

      pi_ = 0
      if_ = 1

      for i in xrange(1, input_, 2):
      if if_ == 0:
      pi_ -= (1 / i)
      if_ = 1
      else:
      pi_ += (1 / i)
      if_ = 0

      pi = pi_ * 4
      print(pi)

  4. antoni4040 | 11/02/2013 at 21:14

    Καταρχάς ευχαριστώ, δεν ήξερα ότι μπορούσε το for i in range να πάει ανά δύο κτλ… Αλλά, δεν κατάλαβες τι προσπαθώ να κάνω με το input – 1: θέλω ο χρήστης να μπορεί να βάλει ακριβώς τον αριθμό των όρων που θα χρησιμοποιηθούν… Στο δικό μου παράδειγμα, το 1 υπήρχε ήδη στο pi_, οπότε, για να υπολογιστούν οι όροι που θέλει ο χρήστης πρέπει να είναι input – 1 !!! Στο δικό σου παράδειγμα, αν βάλω 1000, θα υπολογίσει 500, γιατί το i θα πηγαίνει ανά δύο, άρα θα έπρεπε να είναι input * 2, για να γίνει αυτό που θέλει ο χρήστης… Κάνω λάθος?

    • HackFreak | 12/02/2013 at 15:47

      Μα και στο δικό σου ανα δύο πάει απλώς χρησιμοποιείς αντι για i το divide. Αυτό που έκανα εγώ είναι απλώς να απλοποιήσω των κώδικα. Η φόρμουλα υπολογισμού έτσι και αλλιώς πηγαίνει ανα δύο, οπότε οι ενδιάμεσοι όροι είναι σαν να μην υπάρχουν, οπότε αν του βάλεις 100 θα υπολογισει 1000 όρους 1/1 – 1/3 … 1/1000, εκτός αν θέλεις να υπολογίζει n όρους και όχι να φτάνει μέχρι το n. Αν είναι έτσι τότε ναι πρέπει να το κάνεις όπως λες.

      • HackFreak | 12/02/2013 at 15:49

        EDIT: Στην τέταρτη γραμμή είναι “αν του βάλεις 1000” όχι “αν του βάλεις 100”.

        • antoni4040 | 12/02/2013 at 17:24

          Θέλω να υπολογίζω n όρους, ακριβώς…
          Και στο παράδειγμα σου θα υπολογίσει 500 όρους, όχι πάλι 1000, αφού πάει ανά δύο, απλώς οι παρανομαστές θα πάνε μέχρι το 1000…

          • HackFreak | 12/02/2013 at 17:48

            Ναι αυτό εννοώ με αυτήν την λογική το έχω υλοποιήσει, δηλαδή να πηγαίνει μέχρι το n. Είπα στο προηγούμενο post οτι αν θές να υπολογίσεις ακριβώς n όρους πρέπει να το κάνεις όπως είπες.

  5. StavrosH | 23/08/2013 at 11:16

    Άλλο μία ωραία δημοσίευση !!!!
    Τυχαία βρήκα άλλη μία σειρά που είναι πολύ γρήγορη !!! (εντυπωσιακά θα έλεγα σε σχέση με την κλασσική):
    π/6 = (1) * (1/1) * (1/2^1) + (1/2) * (1/3) * (1/2^3) + (1/2 * 3/4) * (1/5) * (1/2^5) + (1/2 * 3/4 * 5/6) * 1/7 * 1/2^7 + …
    (Στα παρακάτω το α^β σημαίνει δύναμη)
    Στηριζόμενος στην παραπάνω σειρά έφτιαξα ρουτίνα σε Java (ακόμα δεν είμαι ερωτευμένος με την Python) αλλά προφανώς μπορεί κάποιος να κάνει την μετάφραση άνετα:

    public static double pi(int bhmata) {
    //Ψάχνει το pi κάνοντας τα bhmata που του δίνω
    double p=0, t=2, g=1;
    bhmata+=bhmata;
    for(int n=1; n1) g*=((double) n – 2)/(n-1);
    t/=4;
    p+=g*t/n;
    }
    return p*6;
    }

  6. StavrosH | 23/08/2013 at 11:22

    Oops … δεν ξέρω αλλά το πρόγραμμα δεν το αντέγραψε σωστά (έχει παραλείψει χαρακτήρες – Γιατί ???)
    Για να ξεναπροσπαθήσω να το ξανα-Past- άρω ..

    public static double pi(int bhmata) {
    //Ψάχνει το pi κάνοντας τα bhmata που του δίνω
    double p=0, t=2, g=1;
    bhmata+=bhmata;
    for(int n=1; n1) g*=((double) n – 2)/(n-1);
    t/=4;
    p+=g*t/n;
    }
    return p*6;
    }

  7. StavrosH | 23/08/2013 at 11:24

    Παραδίνομαι …. δεν το Past-άρει σωστά … Sorry
    Πάντως η σειρά είναι σωστή γιατί την δοκίμασα
    Για παράδειγμα σε 12 βήματα:
    [b] Υπολογισμός [/b] : 3.1415926521058877
    [b] Σωστή Τιμή [/b] : 3.141592653589793

Leave a Reply

You must be logged in to post a comment.

Σύνδεση

Αρχείο δημοσιεύσεων