Το προφίλ μας στο Google Plus
2

Πόσο τυχαία είναι τα γενέθλια;

Ρωτήστε έναν φίλο, συνάδελφο –ακόμη κι έναν άγνωστο που μόλις γνωρίσατε– ποια μέρα του χρόνου γεννήθηκε. Σίγουρα δεν θα περιμένετε τα γενέθλιά του να ταυτίζονται με τα δικά σας. Θα έχετε δίκιο. Σας προκαλούμε, τώρα, την επόμενη φορά που θα βρεθείτε σε ένα πάρτι να κάντε την ίδια ερώτηση στους παρευρισκόμενους. Ακόμη και τότε, η κοινή λογική λέει πως η πιθανότητα να βρεθούν δύο άνθρωποι με τα ίδια γενέθλια είναι εξαιρετικά χαμηλή. Κι όμως, αν στο πάρτι έχουν έρθει τουλάχιστον 20 άτομα σας περιμένει μια μεγάλη έκπληξη. Πιθανότατα.

Με την προϋπόθεση πως το έτος έχει 365 μέρες, δεν χρειάζονται προχωρημένα μαθηματικά για να δείτε ότι η πιθανότητα τα δικά σας γενέθλια να ταυτίζονται με κάποιου άλλου είναι μόλις 1/365. Με άλλα λόγια, έχουμε μια πιθανότητα που είναι μόλις 0,00274 ή 0,274%. Εξαιρετικά μικρή, όπως κι αν τη δείτε. Αν τώρα βρίσκεστε σε ένα πάρτι και κάποια στιγμή πιστέψετε πως είναι ώρα να τραβήξετε την προσοχή του κόσμου πάνω σας, ρωτήστε τους όλους για το πότε έχουν γενέθλια. Αν οι παρευρισκόμενοι είναι τουλάχιστον 23, η πιθανότητα δύο οποιοιδήποτε από αυτούς να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα είναι πάνω από 50%! Σε περίπτωση που οι προσκεκλημένοι είναι 30 η ίδια πιθανότητα ανεβαίνει στο 70%, ενώ αν μιλάμε για ένα πάρτι των 50 ανθρώπων τότε μπορείτε να είστε 97% σίγουρος ότι τουλάχιστον δύο από αυτούς έχουν γενέθλια την ίδια μέρα. Πώς είναι δυνατό να συμβαίνει κάτι τέτοιο; Γιατί με κάποιον τυχαίο άνθρωπο η πιθανότητα είναι μόλις 0,274%, ενώ στα πάρτι εκτοξεύεται απότομα; Μήπως κάτι δεν πάει καλά με τα νούμερα ή απλά μας προδίδει, για άλλη μια φορά, η λεγόμενη “κοινή λογική”;

Η διερεύνηση μιας προδοσίας
Όπως υποψιαστήκατε, το δεύτερο είναι αυτό που συμβαίνει — χώρια που το πείραμα στο πάρτι είναι εντελώς διαφορετικό από εκείνο στο δρόμο. Σκεφθείτε το: Είναι άλλο πράγμα να ρωτήσουμε έναν μόνο άνθρωπο και να συγκρίνουμε τα δικά του γενέθλια με τα δικά μας, κι άλλο να ρωτήσουμε πολλούς μαζί και μετά να ψάξουμε για ένα οποιοδήποτε ζευγάρι που έχει κοινά γενέθλια.

Προκειμένου να δούμε –και να πιστέψουμε– γιατί στα πάρτι, στις σχολικές αίθουσες, στα γραφεία κ.ο.κ., η πιθανότητα για δύο οποιαδήποτε άτομα να έχουν κοινά γενέθλια είναι μεγάλη –τουλάχιστον πολύ μεγαλύτερη απ’ ό,τι υποδεικνύει η κοινή λογική–, είναι ευκολότερο να υπολογίσουμε πρώτα την πιθανότητα που εκφράζει το αντίθετο γεγονός. Χρησιμοποιώντας μαθηματική γραφή, θέτουμε

q(m) = κανένα ζευγάρι μεταξύ m ατόμων δεν έχει ίδια γενέθλια

και ζητάμε να υπολογίζουμε επακριβώς το q(m). Αν τώρα συμβολίσουμε με p(m) το αντίθετο γεγονός, θέσουμε, δηλαδή

p(m) = τουλάχιστον ένα ζευγάρι μεταξύ m ατόμων έχει ίδια γενέθλια

τότε η ζητούμενη πιθανότητα θα είναι

p(m) = 1 – q(m)

(Σημειώστε πως η μαθηματική πιθανότητα είναι ένας αριθμός μεταξύ 0 και 1.) Για να βρούμε το q(m), μπορούμε να σκεφτούμε ως ακολούθως. Υποθέστε ότι έχετε ένα μεγάλο ημερολόγιο πάνω από το γραφείο σας και σημειώνετε με ένα x την ημέρα των γενεθλίων σας. Σε λίγο, περνάει από εκεί ένας φίλος και θέλει κι εκείνος να σημειώσει την ημέρα των γενεθλίων του, πάνω στο ίδιο ημερολόγιο. Οι δυνατότητες που υπάρχουν ώστε να μην προκύψει “σύγκρουση” ημερών είναι 365 – 1 = 364 (ξανά, υποθέτουμε ότι το έτος έχει 365 μέρες). Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα να μην έχει ίδια γενέθλια με εσάς είναι 364/365 = 0,9973, δηλαδή 99,73%. Πρόκειται για αρκετά υψηλή πιθανότητα — κάτι που το περιμέναμε, άλλωστε. Σε λίγο περνάει άλλος ένας φίλος και θέλει να σημειώσει κι εκείνος τα γενέθλιά του. Οι δυνατότητες που υπάρχουν για την αποφυγή σύγκρουσης είναι 365 – 2 = 363. Έτσι, η πιθανότητα να μην έχει γενέθλια ίδια μέρα με εσάς ή με τον άλλο φίλο, είναι 363/365 = 0,9918 = 99,18%. Παρατηρήστε πως είναι λίγο μικρότερη από την προηγούμενη πιθανότητα, κάτι που μάλλον περιμένατε, ωστόσο είναι κι αυτή αρκετά υψηλή. Επεκτείνοντας τη συλλογιστική και υποθέτοντας ότι, μαζί με εσάς, θέλουν να σημειώσουν γενέθλια πάνω στο ημερολόγιο m στο πλήθος άτομα, τότε οι δυνατότητες που έχει ο m-οστός για αποφυγή σύγκρουσης είναι 365–m+1. Έτσι, η πιθανότητα να μην έχει κοινά γενέθλια με κανέναν από τους (m–1) άλλους, είναι (365–m+1)/365. Είναι λογικό κι αναμενόμενο ότι όσο το m μεγαλώνει, τόσο μικραίνει η πιθανότητα το m-οστό άτομο να μην έχει γενέθλια με κανένα από τα υπόλοιπα m–1 άτομα. (Προφανώς, σε περίπτωση όπου το m υπερβεί το 365 τότε είναι αδύνατο να αποφευχθεί σύγκρουση ημερών.) Τώρα, για να υπολογίσουμε την πιθανότητα q(m), αρκεί να πολλαπλασιάσουμε τα επιμέρους κλάσματα:

q(m) = [365 x 364 x … x (365–m+1)] / 365^m

Υπενθυμίζουμε πως το q(m) εκφράζει την πιθανότητα κανένα από τα m άτομα να μην έχει κοινά γενέθλια με κανένα από τα υπόλοιπα m–1. Έτσι, η πιθανότητα τουλάχιστον ένα από τα m άτομα να έχει ίδια γενέθλια με τουλάχιστον ένα από τα υπόλοιπα m–1 είναι

p(m) = 1 – q(m)

δηλαδή

p(m) = 1 – [365 x 364 x … x (365–m+1)] / 365^m

Βάζοντας στο m δοκιμαστικές τιμές και κάνοντας τις πράξεις, βρίσκουμε τις αντίστοιχες πιθανότητες. Θέλοντας να μάθουμε πόσα άτομα χρειάζονται ώστε η πιθανότητα τουλάχιστον δύο από αυτά να έχουν κοινά γενέθλια να είναι 50%, τότε αρκεί να βρούμε ένα m ώστε

1 – q(m) = 0,5

Με λίγες δοκιμές, βρίσκουμε ότι αρκούν 23 άτομα. Για την ακρίβεια, όταν έχουμε m=23 τότε η ζητούμενη πιθανότητα είναι λίγο πάνω από 50%. Ένα άλλο ενδιαφέρον συμπέρασμα που προκύπτει από τον τύπο είναι πως όταν μιλάμε για 100 άτομα, τότε είναι σχεδόν βέβαιο πως τουλάχιστον δύο από αυτά θα έχουν γενέθλια την ίδια μέρα (πιθανότητα 99,99996%).

Σιωπηρές παραδοχές κι εφαρμογές
Το φαινόμενο που μόλις ανακαλύψαμε είναι ευρύτερα γνωστό ως το παράδοξο των γενεθλίων. Έχετε υπόψη πως η λέξη “παράδοξο” δεν υπονοεί ότι στην όλη ιστορία κρύβονται λογικά σφάλματα. Απλά, χρησιμοποιείται για να καταδείξει πως τα αποτελέσματα που προκύπτουν αψηφούν την κοινή λογική. Πάντως στον κόσμο των μαθηματικών δεν υπάρχει τίποτε το παράξενο ή παράδοξο — οι τύποι είναι ειλικρινείς και ξεκάθαροι! Στον πραγματικό κόσμο, από την άλλη, ανάλογα με την περίπτωση τα πράγματα ίσως παρουσιάζονται λίγο έως πολύ διαφορετικά. Για την ακρίβεια, οι παραπάνω τύποι προϋποθέτουν ότι τα γενέθλια είναι ομοιόμορφα κατανεμημένα μέσα στο χρόνο, πράγμα που δεν ισχύει πάντα. Για λόγους οικογενειακού προγραμματισμού, π.χ., κάποια χρονιά είναι πιθανό οι περισσότερες γεννήσεις να συμβαίνουν την άνοιξη. Εξάλλου, για λόγους απλότητας, οι μαθηματικοί τύποι προέκυψαν αγνοώντας το γεγονός ότι δεν έχουν όλες οι χρονιές το ίδιο πλήθος ημερών.

Το παράδοξο των γενεθλίων από μόνο του είναι σίγουρα ενδιαφέρον για έναν άνθρωπο που έχει το μαθηματικό μικρόβιο, βρίσκει ωστόσο κι ορισμένες πρακτικές εφαρμογές. Για παράδειγμα, η γενικότερη θεωρία που κρύβεται από πίσω έχει χρησιμοποιηθεί στην εκτίμηση του μεγέθους που έχουν οι πληθυσμοί ψαριών σε λίμνες. Επίσης, η γενικευμένη μορφή του παράδοξου των γενεθλίων βρίσκει εφαρμογή στις λεγόμενες hash functions, οι οποίες με τη σειρά τους εφαρμόζονται στην κρυπτογραφία. Από φιλοσοφικής σκοπιάς, τέλος, το παράδοξο μάς υπενθυμίζει ότι πολλά πράγματα που θεωρούμε τυχαία, στην πραγματικότητα δεν είναι. Αλήθεια, έχετε διαβάσει για το νόμο του Benford;

2 Responses to “Πόσο τυχαία είναι τα γενέθλια;”

  1. 41i3n | 08/11/2012 at 15:25

    Πόσο μπροστά; Φανταστείτε το ημερολόγιο γεννεθλίων όχι σε τετράδιο αλλά σε βιβλίο και μάλιστα σε φατσο-βιβλίο (facebook) ;-)

  2. StavrosH | 26/08/2013 at 12:47

    Πολύ ενδιαφέρον άρθρο και ας μην είμαστε Αστρολόγοι για να ψάχνουμε πελάτες.

Leave a Reply

You must be logged in to post a comment.

Σύνδεση

Αρχείο δημοσιεύσεων